3 декабря 2013 года в подвале «Русского Журнала», в рамках гуманитарной секции лектория журнала «Знание-Сила», состоялась лекция Владимира Губайловского о математическом платонизме.
Да, мы не ошиблись классификацией – секция именно гуманитарная: речь шла, в конечном счёте, о математике как одном из способов человеческого моделирования мира. Это, разумеется, предмет гуманитарного знания. Вообще же самым точным было бы сказать, что тема лекции – математическая реальность. Конечно, в той мере, в какой человек способен эту последнюю увидеть и пересказать своими средствами. Собственно, речь шла о математике как языке описания этой реальности.
Математический платонизм, говорил лектор – направление в философии математики, одно из нескольких существующих в истории пониманий того, чем вообще занимается математика. Восходит это направление, как и следует из его названия, к Платону.
Над входом в Академию недаром было написано «Да не войдет не знающий геометрии»: именно геометрические тела Платон считал наиболее близким человеку и наиболее для него понятным воплощением идей, лежащих в основе мира.
Основания того, что мы сегодня называем математическим платонизмом, более-менее подробно изложены в диалоге «Тимей» (это – зрелый Платон, ближе к позднему). В этом диалоге Тимей, – кстати, фигура историческая – рассказывает Сократу, как устроен мир.
Устроен он, по Тимею, просто: он состоит из четырех стихий, каждой из которых соответствует одно из платоновых тел. Платоновых тел в трехмерном пространстве – пять, хотя стихий всего четыре. Каждое платоново тело – это правильный многогранник (т.е. такой все грани которого правильные многоугольники).
Пирамида, или тетраэдр, – это огонь. Октаэдр – воздух. Икосаэдр, в котором к каждой вершине сходятся пять правильных треугольников, – вода. И, наконец, куб – земля. Пятое тело – додекаэдр. Его грани - правильные пятиугольники (он немного похож на футбольный мяч). Платон считал, что это – форма Вселенной.
В Тимеевом мире три стихии – огонь, вода и воздух - могут превращаться друг в друга – они рассыпаются на треугольники, потом собираются заново. Только куб – земля – не преобразуется ни во что. Мир, по Платону, вообще состоит из двух типов треугольников: равностороннего и прямоугольного равнобедренного (из этих последних состоит земля; а из первых – всё остальное). То есть, из идеальных тел – из плоских треугольников, не имеющих толщины – строятся все (объёмные) тела, которые нас окружают.
Распадаясь на треугольники, стихии перестают быть телами. Но в нашем трехмерном мире не-тела – трех измерений не имеющие – невозможны. Соответственно, когда происходят реакции перехода, – мы оказываемся в чисто идеальном пространстве.
Таким образом, в основе мира лежит математическая структура, которая, путем всех этих преобразований, образует сначала идеальные тела, а затем и сам мир. Проникая в пространство математики, где происходит оперирование с треугольниками, – мы прикасаемся к основе мира.
На самом деле идеи Платона не умирали окончательно никогда – вплоть до нашего времени. Очень много думал об этом Прокл (это уже V век нашей эры). Он считал, что математические объекты хоть и существуют на самом деле, но не как реальные тела (для Платона они были совершенно реальны: стол для него буквально состоял в конечном счете из треугольников), они не образуют нашего мира, а существуют в специальном интеллигибельном пространстве.
Спустя две тысячи лет после Платона Вернер Гейзенберг, в свое время читавший «Тимея», написал большую философскую работу «Часть и целое», где он – буквально пересказывая «Тимея» – говорит: работая в пространстве квантовой механики, мы делаем примерно то же, что и Платон: из некоторых идеальных представлений конструируем мир. В платоновских переходах воздуха, огня и воды друг в друга Гейзенберг увидел ядерные реакции – преобразования одних частиц в другие.
Сам термин «математический платонизм» ввёл в 1930-е годы немецкий математик Пуаль Бернайс, и с тех пор термин прижился. Некоторые очень возражали против этой идеи, некоторые, напротив, подхватили её – как, например, знаменитый физик Роджер Пенроуз, пишущий о математическом платонизме в своих книгах.
Кроме платонизма – возвращаясь к намеченному в начале разговору о том, что направлений в философии математики несколько – всегда был еще и математический эмпиризм. Так, например, Владимир Арнольд в знаменитой статье о преподавании математики назвал математику частью физики. Математики эту статью не приняли, найдя это утверждение недостаточно доказанным. Однако скажи Арнольд это в XVIII веке, на такое утверждение просто никто не обратил бы внимания – в то время оно прозвучало бы как общее место.
Представление о математике как о части физики утратило самоочевидность, как только была построена первая неевклидова геометрия. В этот момент математика обрела суверенное существование (а у не слишком посвященной аудитории сложилось впечатление, что математики вообще что хотят, то и делают: то у них параллельные пересекаются, то через одну точку можно провести сколько угодно параллельных к данной линии…). Но до возникновения неевклидовой геометрии математический эмпиризм в интеллектуальном пространстве преобладал. Ни у кого не возникало сомнений в том, что такое, например, прямая (впрочем, все существующие ее эмпирические определения, как показал нам лектор, во-первых, наивны, а во-вторых, недостаточны).
Наши сегодняшние представления о прямой – результат последовательных идеализаций. Примерно так математики думали уже при Платоне. Однако Платон заразил всех, кто после него и Аристотеля занимался математикой, принципом, который мы сегодня назвали бы бритвой Оккама: предпосылок у теории должно быть как можно меньше. Чем меньше у теории предпосылок – тем она надёжнее. Соответственно, если весь мир состоит из двух треугольников – это мир идеальный.
Как раз во время Платона появляются великие греческие математики: Теэтет (о котором тоже есть диалог у Платона), Евдокс, Теодор – именно они и еще некоторые математики получили практически все результаты, которые приводит Евклид. У Евклида, по его собственным – и справедливым – словам, ничего нового нет, новый у него только метод изложения. Он многое передоказал, в том числе, теорему Пифагора. Но вообще он, видимо, построил первую дедуктивную теорию – до него этот метод с такой последовательностью и строгостью не применялся.
У греков, собственно, была одна трудная проблема: бесконечность. Актуальная бесконечность была непредставима для них, с их типом мировосприятия, – греки воспринимали мир физически: видели его, чувствовали руками; из платоновых треугольников у них вырастала пластика идеального. Аристотель успокоил научное сознание своих современников – взбудораженное парадоксами Зенона Элейского, – сказав, что никакой актуальной бесконечности нет: он ввел понятие потенциальной бесконечности. Из этого выросла вся греческая математика (характерное представление у Евклида: прямая – это отрезок, продолженный в обе стороны).
Бесконечности в греческом чувственно воспринимаемом мире просто неоткуда было взяться – как и нолю. Греки не знали ноля и не понимали его. (Птолемей использовал ноль при астрономических расчетах, но только как обозначение позиции: это был ноль позиционный, а не арифметический.) В таком мире, более того, не могла существовать и никакая чисто платоническая математика. Она существовала как идеально-материальная эмпирика.
Но наступает рубеж времен – и всё меняется.
Современная наука, как справедливо сказал диакон Андрей Кураев, – дитя христианства, потому что она – дитя слова, которое описывает и творит мир – и, следовательно, проникает в самое ядро мира. (Очень близкое к этому представление, заметил лектор, было у стоиков.) Кроме всего прочего, очень много значил – именно для формирования общекультурного чувства мира, проникшего, в конечном счёте, и в математику – опыт общения с абсолютной Личностью. Этот опыт, в пору своей относительной новизны и, значит, жгучей актуальности, как показал Губайловский, действительно проник на все уровни культуры. Сохранились свидетельства вроде рассказа о том, как монах, приехавший на Никейский собор, поразился: в городе все, вплоть до продавцов и погонщиков, спорят о тринитарной проблеме, - ничего больше их не интересует! Единосущны ли лица Троицы? – сторонники разных ответов на этот вопрос буквально готовы убить друг друга. И всё это, как ни странно, – опыт познания бесконечного.
В первые века по Рождестве Христове появляется представление о том, что бесконечность – это предмет и адресат повседневного общения: встану на вечернюю молитву – поговорю с Богом, Который вообще-то бесконечен, и я, молящийся, это знаю. На общекультурное усвоение идеи бесконечности ушли, конечно, века – но это и понятно, всё-таки объект очень серьёзный и неочевидный.
Новое время начинается с Галилея. Для Галилея прямая – уже не отрезок, продолженный в обе стороны. Напротив, для него отрезок – это кусок, вырезанный из бесконечной прямой, то есть, первичная интуиция у него – бесконечная прямая. В тот момент, когда один из героев галилеевских диалогов рассчитывает длину окружности – будто бы так же, как это делали еще греки, через вписанную в окружность последовательность правильный многоугольников, – но говорит о возможности вписать в окружность многоугольник с бесконечным числом сторон, – вот в этот самый момент рождается и современное понятие о бесконечности и понятие предельного перехода (позволяющего за конечное число шагов дойти до бесконечности), и теория рядов, и дифференциальное исчисление, и современный анализ, и многое другое.
Первым, кто всерьез думал о бесконечности, был Николай Кузанский. Но он был теологом, а Галилей – физиком. Галилей сразу, как только понял, что можно делать предельный переход, – применил это к своим расчётам. Фактически, он уже начал работать с простейшими дифференциальными уравнениями.
То есть, к началу Нового времени прояснилось, что Аристотель был «не прав», а Зенон – «прав». Бесконечно малая величина – точка Зенона – имеет нулевой размер, но если сложить актуально бесконечное количество этих бесконечно малых – мы получим конечную величину. На этом построено всё исчисление криволинейных площадей и объемов.
О том, как считать такие объёмы, впервые написал Иоганн Кеплер в своей знаменитой работе «Исчисление объемов винных бочек». Он предложил нарезать бочку на актуально бесконечное количество пластов, каждый – с определённой площадью, а потом умножить на высоту.
На самом деле, это абсолютно некорректно. Никакой грек не разрешил бы подобного ни при каких обстоятельствах. Тем не менее – что самое поразительное – результат получался правильный!
После этого актуальная бесконечность прожила долгую успешную жизнь – вплоть до, пожалуй, начала ХХ века, когда её снова начали оспаривать.
Актуальная бесконечность – это же типичная платоновская сущность. На нее опирается вся математика бесконечно малых. Сегодня мы, однако, можем без актуальной бесконечности обойтись: все интегралы сейчас считаются численно. Компьютер вообще умеет работать только с рациональными числами, притом с конечным их количеством. То есть, никакой прикладной нужды в бесконечности сегодня нет. Мы живем в мире, где абсолютно все вычисления выполняются над конечными наборами рациональных чисел. (У теоретиков, правда, с актуальной бесконечностью куда больше проблем, чем у прикладников.)
Математика оставалась эмпирической наукой даже тогда, когда пользовалась актуальной бесконечностью, хотя математики не слишком её принимали. (Кстати, сам термин «актуальная бесконечность» – не математический, он – из философии Спинозы.) В начале XIX века Гегель в «Науке логики» говорил, что математики используют актуальную бесконечность, сами того не понимая, – он считал нужным это им доказывать.
В том, что они занимаются физическим пространством, математики усомнились, только когда возникла неевклидова геометрия.
Евклидова геометрия, напомнил нам лектор, – это ограниченный набор постулатов. Их всего пять. Первые четыре – ясны и очевидны: (1) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; (2) ограниченную прямую (то есть отрезок) можно непрерывно продолжать по прямой в обе стороны; (3) из всякого центра всяким раствором может быть описан круг; (4) все прямые углы равны между собой. (Этими постулатами Евклид, на самом деле, вводит понятие построения с помощью циркуля и линейки. Главный принцип античной математики: все математические объекты должны строиться с помощью циркуля и линейки. Именно в том, что может быть построено таким образом, – греки видели ядро математики. – Потом, кстати, оказалось, что всё вообще можно построить с помощью одного циркуля – кроме естественно линейных отрезков.)
Есть и пятый постулат – он уже не такой очевидный и ясный: если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
Без рисунка это вообще непонятно. Еще Прокл предлагал это переформулировать и обратил внимание на то, что у этого постулата есть точный эквивалент: сумма углов треугольника равна 180°. Этот постулат не нравился даже самому Евклиду. Первые 28 теорем, которые он доказывает – теперь они называются теоремами абсолютной геометрии – пятый постулат не используют: Евклид старается как можно больше доказать без него.
Оказалось, что этот постулат содержит в себе целый новый мир. Потому что он верен только в евклидовом – то есть плоском – пространстве. В пространстве же, имеющем кривизну: например на сфере или на поверхности гиперболоида… – это не так. Когда на это наткнулся Гаусс, он вообще никому ничего не сказал. Заговорил об этом Лобачевский, причем был подвергнут упрекам профессора Остроградского в недостатке здравого смысла. (Но почему, кстати, – заметил Губайловский, – здравому смыслу так уж очевидно, что параллельные прямые не пересекаются? – Куда естественнее думать, что параллельных прямых просто нет – мы же с ними не встречаемся.)
Лобачевский еще пытается апеллировать к физической реальности, но он уже сделал решающий и бесповоротный шаг в сторону от неё. Современная математика родилась, собственно, в момент, когда Лобачевский додумался до мысли, что в основе реальности могут быть другие аксиомы – не Евклидовы, лишь бы эти аксиомы были непротиворечивы. В этот момент математика начала уходить от физического мира, превращаться в символическую игру. (В ХХ веке Юджин Вигнер говорит о непостижимой эффективности математики и удивлялся: как математика вообще может ещё что-то считать? – так далеко она ушла от физики.)
Математика треснула пополам, когда – в начале ХХ века –Гильберт предпринял попытку привести ее в порядок. Это была его формальная программа, которая закончилась неудачей – тем, что была доказана теорема Гёделя о неполноте. Выяснилось, что если мы хотим построить математику, в которой истина и доказуемость совпадают, - мы её никогда не построим: всегда останутся утверждения, которые недоказуемы, хотя истинны. Это было катастрофой и означало закрытие формальной программы Гильберта.
Но еще до того, как была доказана теорема Гёделя, один из величайших математиков ХХ века, Лёйтзен Брауэр, предложил отказаться и от попыток привести в порядок теорию множеств, и от формалистской программы Гильберта, и перейти к конструктивистской логике.
Конструктивистская логика – совсем другая. Там, например, нет «закона исключённого третьего»; нет актуальной бесконечности – только потенциальная; три вида утверждений: истинное, ложное и неустановленное. Доказательства в этой логике более трудны, но корректны. Сейчас есть направление (в нем работает, например, принстонский математик Владимир Воеводский), которое пытается довести конструктивистскую математику до того уровня, который имела математика формальная. Если это удастся – можно будет создавать алгоритмические языки, которые доказывают математические теоремы (т.е., можно будет передоверить доказательство машине и заставить её работать с высоко абстрактными объектами), и это обещает невероятный прорыв в математике. Начнутся просто другие времена, о которых мы теперь еще не можем говорить.
В конце лектор ответил на вопросы слушателей, пытавшихся уточнить: были ли греки, современники Платона, «платониками» в своём понимании математики и началось ли то, что мы называем эмпиризмом в математике, – позже? В каком-то смысле, отвечал Губайловский, для греков эмпирическое и идеальное не просто не были противопоставлены: они были одним и тем же. Когда грек высекал статую Афрродиты – он на самом деле, этим самым действием, собственными руками познавал её. В телесно осязаемой статуе реально присутствовала сама богиня. Греки были столь же насквозь материальны, сколь и насквозь идеальны. Расслоение на эмпирическое и идеальное началось в европейском мировосприятии с приходом христианства: как только появляется представление о трансцендентном, об абсолютной Личности – мир раскалывается на конечный и бесконечный. Что, разумеется, сказывается и на судьбах математики, - в основе которой, как видим, лежат более глубокие: доматематические, онтологические интуиции. Разум – в том числе, математический – их только проясняет. Собственно, лекция была именно об этом.
