Математическое образование и популяризация науки

Мы публикуем стенограмму передачи «Наука 2.0» – совместного проекта информационно-аналитического портала «Полит.ру» и радиостанции «Вести FM». Гость передачи – математик, популяризатор науки, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Математического Института РАН, секретарь комиссии по школьному математическому образованию отделения математических наук Российской Академии Наук Николай Андреев. Услышать нас можно каждую субботу после 23:00 на волне 97,6 FM.

См. также часть 1

Анатолий Кузичев: Прощаясь в прошлый раз, мы сказали, что не знаем, когда увидимся с Николаем Андреевым вновь. Прошла неделя, и мы решили снова с ним увидеться, потому очень интересной показалась нам первая беседа. Кроме того, остался неохваченным очень большой пласт проблем, которые мы именно с Николаем хотели бы обсудить. Еще раз приветствую в студии радиостанции «Вести FM» Николая Андреева.

Борис Долгин: Кандидата физико-математических наук, научного сотрудника Математического института имени Стеклова РАН

А.К.: Математика и популяризатора математики. В студии радиостанции «Вести FM» Анатолий Кузичев, Дмитрий Ицкович и Борис Долгин.

Б.Д.: Мы хотели поговорить о математическом образовании. Что с ним происходит? Каков был его статус, и каков он сейчас?

Н.А.: Уровень математического образования, как и любого другого, впрочем, падает.

Б.Д.: И в школе, и в вузе?

Н.А.: Давайте говорить про школу, поскольку она больше детей охватывает. Советское математическое образование считалось одним из ведущих в мире. Сейчас оно падает, во многом и из-за того же ЕГЭ, который плох не тем, что он «единый», а тем, что он просто противоречит традициям и самой системе математического образования в школах.

Б.Д.: Казалось бы, для математики, для которой естественны формализованные задачи и решения, это должно быть более приемлемо, чем, допустим, для литературы, где сочинения тяжелее формализовать.

Н.А.: Возможно, это и более приемлемо. Но тогда в литературе совсем все плохо с ЕГЭ. В традициях российской школы по математике учить доказывать, решать и объяснять, а не играть в угадайку с тестами и выбором ответа. Впрочем, хочется надеяться, что реализуется принятое уже решение о том, что в следующем году не будет части «А». И тесты уйдут из ЕГЭ по математике.

Д.И.: А что в мире с математическим образованием? Когда была советская школьная математическая система, было очень понятно целеполагание. Люди знали, как устроено общество, чего они хотят добиться от детей. Хотели сделать советского гражданина с определенными характеристиками и вполне успешно решали эту задачу. Сейчас же система норм разрушена. При этом в разных странах была разная математика, и по-разному справлялись со своими задачами. Как сейчас устроена эта карта математического образования в мире?

Н.А.: Если послушать любые выступления Владимира Игоревича Арнольда, ведущего математика не только в России, но и в современном мире, то почти в каждом своем выступлении он ругает французскую систему.

Д.И.: Это потому что он живет во Франции.

Н.А.: Да, часть времени он действительно проводит во Франции и много общается с французскими математиками и студентами. Американская система выигрывает за счет того, что Америка способна в вузы пригласить к себе тех, кого она не обучала в школе. После вузов там оказываются действительно хорошие научные кадры. Но Россия не может идти по этому пути. У нее просто нет таких возможностей.

Д.И.: А эта инициатива Гейтса по матшколам, которые он строит по Америке? Можно про нее сказать два слова?

Н.А.: Очень мало об этом знаю. На самом деле, матшколы – это очень важное звено. В любом образовании должна быть голова: победители международных или всероссийских олимпиад. И должно быть туловище – это основное звено. Они не пойдут в науку, но без инженеров науки тоже не бывает. И, конечно, всегда бывает хвост. Вот без этих трех частей невозможно никакое образование. Нельзя вычеркнуть верх, тогда среднему звену не будет, к чему стремиться. Нельзя вычеркнуть среднее звено и образовывать только одаренных школьников. Если вы вычеркните среднее, «одаренка» опустится на уровень среднего.

Б.Д.: Произойдет какая-то странная социальная поляризация.

Н.А.: Да. Так что баланс этой пирамиды всегда нужно соблюдать.

Б.Д.: А как у нас с массовым математическим образованием? Проблемы ухудшения касаются элитного или массового?

Н.А.: Массового в большей степени. Отчасти из-за того, что сейчас очень плохие педагогические программы, и образование учителей – очень больная тема. Учительская профессия очень массовая. Математика не терпит прерываний. Если, не в обиду литераторам будет сказано, вы не прочли Пушкина, то Маяковского можно почитать.

Б.Д.: Но совершенно иначе поняв его.

Н.А.: Да. Но в математике вы, не научившись складывать дроби, просто не сможете приступить к чему-то более сложному.

Б.Д.: Большая степень внутренней связанности?

Н.А.: Да, которая держит в напряжении учителей.

Д.И.: Пример неточный. Надо было сказать так: занимаясь литературой, вы не можете не выучить алфавит.

Н.А.: В математике гораздо больше связанности. Может быть, дроби – это действительно алфавит.

Б.Д.: Тогда в математике получается очень длинный алфавит. В чем может и должно быть место вузов, академических учреждений в настройке этой массовой системы? Кто вообще этим должен заниматься?

Н.А.: Традиции России - и дореволюционной, и советской - в том, что ученые всегда оказывали большое влияние на школьные и на педвузовские образовательные программы. К сожалению, начиная с какого-то времени, ученых слушать в основном перестали.

Б.Д.: Отдельно методика, отдельно наука?

Н.А.: Методика ушла от науки еще в советское время. Я говорил про другое, я говорил про постсоветское время, когда все вопросы образования начали решать чиновники из Министерства образования.

Б.Д.: Но это же всегда решали чиновники, просто советуясь с учеными.

Н.А.: Раньше они советовались. А потом перестали слушать. Можно много примеров привести: и обсуждения стандартов образования, и позиции научного и педагогического сообщества по поводу ЕГЭ.

Д.И.: По-моему, все дело в том, что никто не знает твердо, как. Когда все твердо это знают, чиновнику и ученому легко договориться.

Н.А.: Образование не терпит революций. Сказать сразу, как надо делать, никто не сможет. Это эксперимент с довольно длительной обратной связью. Поэтому нужно двигаться небольшими шажками, преобразовывая и проводя реформу образования.

Б.Д.: Могут ли быть небольшие шажки в образовании при резкой смене социального уклада?

Д.И.: Так оно и произошло. И ничего хорошего, судя по всему, не вышло – все жалуются.

Н.А.: Произошли большие шаги. И это разрушило систему.

Д.И.: Какие большие шаги? Когда они происходили?

Н.А.: Введение того же ЕГЭ.

Д.И.: Да. Только вот у нас социальный взрыв произошел в 1991-м году, а попытка шагнуть произошла несколько позже. Для образования это, конечно, не срок. Но ведь больше одного поколения школьников сменилось. А инертность сохранялась, накапливался какой-то негативный опыт.

Б.Д.: А как функционирует образование для одаренных детей? В советское время эта система была настроена, во многом, благодаря усилиям академика Колмогорова и не только его.

Н.А.: С колмогоровской реформой все сложно. Но общение с одаренными школьниками было сделано во многом благодаря этой реформе. Хотя и до этого с ними, конечно же, занимались отдельно. Кроме того, для них сейчас существует много программ, в том числе и летние выездные школы. Когда школьников приглашают в хорошее место – лагерь. И там можно не просто заниматься наукой, но и, как мы обсуждали в нашей прошлой передаче, общаться с математиками.

А.К.: Быть одаренным школьником невыгодно. Представляете, заходит к нему мама в комнату и говорит: «Знаешь, что ты делаешь в свои каникулы?» «Что?» «Общаешься с математиками». Ребенок идет и стреляется в детской комнате.

Д.И.: Можно сказать и так: «Ты общаешься с такими же, как ты». И это счастье.

Н.А.: Конечно.

Б.Д.: Дети стремятся в эти школы, проходят собеседования.

А.К.: Мне кажется, что все-таки родители больше стремятся.

Н.А.: Еще учителя водят своих детей в походы. Эта традиция очень хороша, и она работает. Конечно, должно быть и то, и другое. На летних и других выездных школах устраивают и спортивные мероприятия, играют в футбол и волейбол.

Б.Д.: Не говоря уже об игре на гитаре у костра.

Н.А.: И когда это делается не по рангу, когда школьники отдельно, а академики отдельно, а все вместе, это очень способствует развитию ребенка и его мотивации идти в науку.

Б.Д.: Ребенок естественным образом попадает в некую ткань научного общения, и даже сплетни, которые он слышит, могут касаться скорее научных сюжетов.

А.К.: Детям надо и отдыхать. А там такая четкая и структурированная среда...

Б.Д.: Они сидят в деревне, в палатках.

А.К.: Они сидят в лагере. Кстати, символично, что он так называется. Они находятся в структурированной системе: утро, линейка, подъем.

Н.А.: Бывают разные школы. Если посмотреть на Кировскую школу, которую проводит Рубанов, там действительно бывает линейка и подъем флага, но это некий бонус.

Б.Д.: А в летней экологической школе или летней школе исследователей нет никакой линейки. Подъем есть.

А.К.: Вот. И отбой есть наверняка.

Б.Д.: Нет. И отбоя нет. В том числе и потому, что факультатив может идти и в полночь, и в час ночи. Когда еще астрономам смотреть на звезды? Насколько больная тема лженауки для математики? Для истории – больная, для физики – больная – много сумасшедших. А в математике?

Н.А.: С лженаукой отчасти проще. Потому что или что-то доказано, или не доказано. Больная тема – это ферматизм. Была очень знаменитая теорема Ферма[1]. Кстати, существует потрясающий научно-популярный фильм, и вообще очень интересен опыт постановки художественных фильмов о научно-образовательных задачах. Один из самых интересных опытов – это Семен Райтбурт, который снял несколько фильмов в конце 1960-ых – 1970-ых годов. Один из этих фильмов, по повести А.Порджеса, называется «Математик и черт»: черт приходит к математику и предлагает заключить контракт. Математик его просит доказать или опровергнуть теорему Ферма. Очень интересно посмотреть.

А.К.: Чем дело-то закончилось?

Н.А.: Очень интересно закончилось. Черт задачу не решает, но это еще не конец. Он приходит и отдает математику все, что был должен, а потом возвращается и говорит: «Ты же математик. Мы сейчас вместе сядем и решим эту задачу». И последние кадры – математик и черт что-то увлеченно пишут. То есть математик может вообще делать чудеса. С помощью математики можно квадратные отверстия сверлить и кататься на квадратных колесах. Существует масса очень интересных вещей. Возвращаясь к вопросу Бориса, действительно, довольно большое число ненаучного народа пытается решать какие-то простые по постановке задачи...

Б.Д.:  Которые он может понять, не имея соответствующего образования.

Н.А.: Да. Как Владимир Успенский пишет в своей новой книге «Апология математики», этот процесс нельзя остановить. Они говорят на другом языке, не как математики. И им невозможно доказать, что они неправы. Вы находите одну ошибку, а через день появляется другое решение, тоже ошибочное. И на проверку этого приходится тратить много времени.

Б.Д.: Социальная опасность есть?

Н.А.: Думаю, что все-таки нет. Это обычно не буйные люди.

Б.Д.: Они не способны доходить до административных кабинетов, заставлять тратить на себя деньги?

Н.А.: Они способны доходить до кабинетов, но, чаще всего, отстаивая свою точку зрения. А по поводу траты денег – вряд ли. Очень сложно убедить чиновника или политика потратить много денег на решение какой-то теоремы. Там просто символы. И что это даст, никому непонятно.

Д.И.: Это актуально как для лженаправлений, так и для настоящей науки?

Н.А.: Да. В этом отчасти проблема математики. Удой коров они вряд ли увеличат за счет того, что теорема будет решена. Но все же существуют области математики, которые можно продемонстрировать даже нашему правительству.

Б.Д.: Какие связки математики с другими науками кажутся наиболее перспективными? Где самые интересные междисциплинарные поля? Или так: где математика сейчас наиболее эффективна и эффектна?

А.К.: Эффектна она наиболее всего на том DVD, что нам дали, с квадратными отверстиями.

Н.А.: А вот эффективна... Даже если вы придете на факультет прикладной лингвистики РГГУ, многим удивительным покажется, что там профилирующий экзамен по математике.

Д.И.: Это в МГУ придумал Владимир Успенский.

Б.Д.: Да. Но когда лингвистика создавалась в РГГУ, это делалось по лучшим образцам научной лингвистики. И там она естественным образом возродилась и сохранилась ничуть не хуже, чем в МГУ.

Н.А.: Существует запись лекции Андрея Анатольевича Зализняка[2], когда он рассказывает про доказательство того, что не существовало Велесовой книги[3]. Так это просто доказательство некой математической теоремы: такое не могло существовать в старинном русском языке, вообще в русском языке и этого не могло быть в любом языке.

Б.Д.: Да, Велесова книга – это такая классическая проблема для историков и филологов, которая решается теми филологами, которые обладают хорошими математическими знаниями.

Н.А.: Только вот труды сторонников Велесовой книги публикуются огромными тиражами, а научные труды, которые это опровергают, знает гораздо меньшая часть общества.

Д.И.: Это диспропорция, которая сейчас существует между образованным и необразованным обществом. Она инфраструктурная. Потому что для необразованного общества инфраструктура доставки знаний существует, а для образованного – только в Интернете появилась.

Н.А.: К сожалению, это еще и некая политика нашего государства, когда оно...

Д.И.: Не надо преувеличивать. Это не политика. Это коммерция. Политика должна быть на преодоление этой сегментированности.

Н.А.: Согласен с вами. Но с точки зрения государства, эта политика должна быть направлена, в частности, на поддержку РАН.

Д.И.: Почему именно РАН, а не, например, конкретных лабораторий?

Н.А.: Можно и лабораторий. Но именно на поддержку научных людей. А когда им противопоставляют школьника, который изобрел CD-диск, предлагают искать под это финансирование и говорят, что из-за этого Россия завтра воспрянет, – это нехорошо.

Б.Д.: Наверное, под РАН имелась в виду реальная академическая наука.

Н.А.: Да.

Д.И.: Здесь есть путаница. Мы, с одной стороны, завидуем изобретательности иных народов, где школьник может придумать какую-то ерунду, внедрить ее и стать миллиардером. Хула-хуп или трубочка для коктейлей.

Н.А.: Я не хочу, чтобы наши слушатели не хотели что-то изобрести. Это прекрасная вещь. Но делать это нужно, обладая некоторым образованием. Чем выше образование, тем больше вероятность, что вы что-то изобретете.

Б.Д.: Хорошие изобретатели обычно имеют хорошее образование.

А.К.: Вы сказали так: «Изобретайте, но изобретайте в рамках нашей структуры». Я правильно интерпретировал ваши слова?

Н.А.: Мой призыв в следующем: образовывайтесь - и тогда будет легче изобретать. Некая площадка для прыжка всегда способствует успеху. Зачастую, но не всегда.

Д.И.: Я думаю, что система возгонки и страсти к знаниям в каком-то смысле общая. Но дальше люди расходятся по разным своим предпочтениям и интересам. И если говорить, например, о большом голливудском мейнстриме, то они здорово умеют пропагандировать образ науки и образ ученого. Но это, как правило, изобретатель чего-то конкретного и, как правило, злодей. В «Бэтмене» там или в «Джеймсе Бонде».

Н.А.: Можно вспомнить недавний фильм «21», где в самом начале рассказывается вероятностная задачка, очень правильная по постановке.

Д.И.: Что за фильм?

Н.А.: Про то, как команда из MIT обдуривала казино.

А.К.: Обдурили? Или им все-таки поломали ноги бейсбольными битами?

Н.А.: Было и то, и другое. Интересно, что в начале фильма действительно ставится математическая задача.

Д.И.: Она корректно формулируется, интерпретируется?

Н.А.: Решение, к сожалению, не совсем корректное. Это серьезная проблема средств массовой информации и вообще популяризаторства сложных наук. Зачастую, чтобы качественно рассказать, нужно очень хорошо знать.

Д.И.: В некоторых жанрах и формах это просто невозможно. Если мы говорим о кинематографе, то он может дать только образ. Если мы посмотрим, как они пытаются (даже в самых лучших фильмах) качественно изобразить историческую реконструкцию, математику, программирование, это всегда выглядит для профессионала как что-то ужасное.

Н.А.: Я не говорил, что нужно рассказать всю правду. Но все, что рассказано, должно быть правдой. Можно привести простой пример. Давайте возьмем Википедию. На мой взгляд, это не научно-образовательный ресурс. Там бывают ошибки. А в качественном научно-популярном ресурсе ошибок быть не должно. Понятно, что мы не можем рассказать про весь передний край математики, про всю математику.

Б.Д.: Но можно при этом не врать.

Н.А.: Не то что можно, а необходимо.

Д.И.: Мы сейчас говорим об эффекте не всегда хорошо организованной коллективной ответственности, где всегда есть элемент лжи.

Б.Д.: Мы говорим о плохо организованной системе экспертизы.

Д.И.: Но в математике она как раз хорошо организована.

Б.Д.: В самой математике – да. А когда идет рассказ о математике вне математики – нет.

Д.И.: Мне кажется, что один из важных смыслов математики для общества в том, что там почти идеально организована экспертиза. И это транслируется в другие сегменты науки.

А.К.: Отчасти да, ну и некоторое воспитание честности.

Д.И.: Это оно и есть. Вот мы вчера разговаривали с математиком Найшулем по поводу религии и науки. И он говорит, что на мехмате в определенные времена каждый третий был православным. И считает, что это не только потому, что в советские времена было диссидентское настроение, но и потому что они были интеллектуально честными. Если они приходили к каким-то выводам, то немедленно их реализовывали.

Б.Д.: Как быть с единством экспертизы в науке, если есть школы, не очень признающие друг друга. И в математике, насколько я понимаю, это тоже существует?

Н.А.: Крайне мало.

Б.Д.: Отношение к тем же самым интуитивистам.

Н.А.: Это больше проблема философии, нежели математики. Сейчас из того, что может быть интересно радиослушателям, я могу сказать, что у некоторой части математиков существует недоверие к компьютерным доказательствам. Понятие доказательства менялось с течением времени. Можно вспомнить древнюю Индию, когда им было достаточно нарисовать чертеж и подписать «смотри». А то современное состояние, что мы считаем доказанным, сформировалось во многом во времена Гильберта. При этом, даже если вы посмотрите на труды очень известного российского математике Эйлера, вы в них очень мало увидите доказанного с точки зрения современности. Просто потому, что изменился язык и понятие доказательства. В 1970-ые годы появилась первая математическая задача, решенная с помощью компьютеров, - задача о четырех красках. Можно ли любую карту покрасить в четыре цвета так, чтобы никакие два соседних государства не были покрашены в один цвет? Это было первое такое доказательство, но многие все еще относятся с нему с недоверием.

Д.И.: Сидят и вручную раскрашивают. А ответ-то какой?

Н.А.: Можно. Существуют и более глубинные проблемы с доказательствами. Мы уже упоминали про теорему Ферма. Большинство математиков, конечно же, не проверяло ее доказательство. В отличие, например, от теоремы Пифагора. И то довольно сложное доказательство, которое было установлено Уайлсом в 1990-ые годы, проверено очень малым количеством математиков. Но это такие люди, которым сообщество доверяет. И сообщество считает, что она доказана.

Б.Д.: А что такое компьютерное доказательство? Бывает два типа доказательств. Первый – это когда компьютер просто облегчает техническую работу: решить, например, тысячу квадратных уравнений. А второе, к чему собственно и питают недоверие математики, – это когда компьютер сам решает, куда пойти на следующем шаге. Это настораживает. Проверить это очень сложно.

Д.И.: А что при этом надо проверять?

Н.А.: Есть много точек зрения, начиная от листинга программы на предмет того, все ли там правильно написано, заканчивая проверкой железок на предмет правильного выполнения того, что ей предписано.

Б.Д.: Является ли тот алгоритм, который она использовала, единственным?

Д.И.: Это один из вариантов. Второй – просто механический. Давайте вернемся к фильму. Они пытались обдурить казино - с помощью?...

Н.А.: Математики, с помощью знаний теории вероятности и т. д.

Д.И.: Просто я вспомнил, что читал книжку о том, как принимаются сценарии в США. В каждом сценарии есть такой элемент, где сценарист в нескольких предложениях описывает, что происходит в фильме. Предполагается, что если ты не смог изложить суть фильма в этих трех-пяти предложениях, то сценарий плохой. Если в таком режиме изложить математическую модель, которую использовали эмайтишники в этом фильме, как это выглядело у сценариста? Что он описал?

Н.А.: Это, наверное, реально. Я не готов это сделать сходу и быстро. Хочется пересмотреть фильм. Возвращаясь к популяризации. Этот подход может быть отчасти правильным. С другой стороны, зачастую СМИ слишком много внимания обращают на рейтинги, из-за чего иногда пропадают какие-то важные вещи. В Японии есть великий популяризатор математики - Джин Акияма. В Москве он тоже давал представление.

Б.Д.: Хорошее слово «представление» для работы популяризатора математики.

Н.А.: Это действительно некое шоу. Понимаете, мы боремся за одно и то же, а именно за деньги родителей и время детей. Ребенок может купить журнал про секс и моду, а может купить научно-популярную книгу. И борьба идет за один и тот же ресурс. Если вы хотите, чтобы он выбрал что-то научно-популярное, оно должно быть как минимум не менее красиво. Потому что то ему интересно, а это – пока еще нет. И у Акиямы это действительно представления. Он делает модельки, дает много представлений по миру. Кроме того, он ведет еженедельную передачу на центральном японском образовательном телеканале. Если с Джином в Японии садишься в такси, то любой таксист его узнает. Заходишь в кафе, сразу все кафе обращает внимание. Это пример того, что изложение математики на широкое общество может быть очень популярным. Когда приходишь на телевидение в России, первый ответ – будет нерейтингово. А второй – какая целевая аудитория? Вспомните «Простоквашино». Какая у него целевая аудитория? Его можно смотреть в детстве, можно в юности, а можно в зрелом возрасте.

Д.И.: Если мы говорим про математику, гораздо корректней вспомнить «Алису в стране чудес».

Н.А.: Да. В каждом возрасте и при каждом уровне образования ты находишь для себя что-то новое. Поэтому, возвращаясь к своему опыту, тот же проект «Математические этюды» - это мультфильмы, которые можно просто показать, чтобы дети просто порадовались. Если же видишь, что аудитория подготовлена, можно что-то объяснить. А профессиональному математику можно просто что-то доказать.

А.К.: Спасибо большое. Гостем двух прошедших передач «Наука 2.0» был Николай Андреев - математик и популяризатор математики. Спасибо вам большое. Вели программу, как обычно, Дмитрий Ицкович, Анатолий Кузичев и Борис Долгин. До встречи.

[1] Пьер Ферма – французский математик XVII  века, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Наиболее известен формулировкой так называемой Великой теоремы Ферма о том, что степень, большую чем 2 натурального числа нельзя разложить на сумму двух натуральных чисел, каждое из которых взято в той же степени. Была доказана только в 1995-м году английским математиком Эндрю Уайлсом.

[2] Зализняк Андрей Анатольевич – российский лингвист, академик РАН. Его научное творчество можно условно разделить на две основные части. Первая связана с созданием формального описания синхронной системы грамматических категорий. А вторая – с изучением памятников древненовгородской письменности и, в первую очередь, берестяных грамот - писем и записей на бересте.

[3] Велесова книга – поддельный исторический источник, имитирующий некие древнеславянский язык и письменность (до глаголицы и кириллицы). Впервые опубликован и, скорее всего, создан в кругах любителей славянской мифологии первой волны эмиграции. Факт фальсификации не вызывает сомнений у профессиональных историков и лингвистов, но отрицается частью публицистов-неоязычников.